Řešení a výsledky úloh soutěže HLEDÁ SE MATEMATICKÁ HVĚZDA

Září

1)Zdravím řešiteli, na začátek mám pro tebe jedno sdělení, bohužel mi spadlo do číselné polévky, takže je trochu pozměněné. Snad ti pomůže recept na tuto polévku:
$5 \,8 \,12\, 18\, 24 \,30 \dots$
A zde je samotné sdělení: $13;23;16;32;29\,\, 49;56;47;71;80;77 \,\,97\,\, 102;95;119;117;134;137;151$.


2)V každém roce, krom přestupného, je den, který pokud napíšeme jeho datum a vynecháme první tečku, pak číslo, které dostaneme, uvádí kolikátým dnem v roce je. Pro který den platí popsaná vlastnost.


3)Najděte největší přirozené číslo n takové, že $n^3 + 100$ je dělitelné číslem $n+10$.

Říjen

1) Klasickým hodinám upadla minutová ručička. Hodinová ručička svírá s dvanáctou hodinou úhel $97^{\circ}$ (ve směru hodinových ručiček). Jaký je nyní čas.


2) O kolik delší dráhu urazí hlava cestovatele kráčejícího po rovníku, než jeho chodila, pokud obejde zeměkouli jednou dokola. Uvažujme hlavu ve výšce $2\,m$.


3)Trojciferné číslo má ciferný součet $21$. Jestliže v tomto čísle zaměníme číslice stovek a desítek, číslo se zmenší o $180$. Jestliže zaměníme číslice desítek a jednotek, číslo se zvětší o 36. Určete toto číslo.


4)Najdi takový prvek $n$, že $7–8–7–n–7–16$ je nesmysl.
Zkouška správnosti: $10–n–19–n–16$ je správně.

Listopad

1) Součet tří prvočísel je roven $100$. Určete všechny trojice prvočísel, které toto splňují.


2)Krychle o straně délky $5\,cm$ je na povrchu obarvena a pak rozřezána na $125$ stejných krychliček. Z krychliček, které mají obarvenou právě jednu stěnu, postavíme co největší krychli. Jak velký bude její povrch?


3)Součin tří přirozených čísel je roven $2004$, když tato čísla sečtu, tak dostanu palindrom, o jaké čísla jde?


4)Vyřešte rovnici: $x^{x^3} = 3$.